纸看似柔弱，却会在不经意间偷袭你的手指。通常是翻书或整理文件时，你以为手指皮肤和书页纸张只会有蜻蜓点水般的一面之缘，但直至感到指尖隐隐作痛，你才见手指上那道已被血液描红的轮廓——纸方才轻抚你指尖的瞬间，已然在手指上划出了一道伤口。

也不知这算不幸还是幸运，因为纸划破手指算是小概率事件——平常你就算故意用纸去划手，很多时候也划不破。

这引起了丹麦技术大学（Technical University of Denmark）几位物理学家的兴趣，他们开始查阅研究论文，想知道什么样的纸，用什么样的方式，最容易划破手指。


图片来源：原论文

太厚太薄都不行

但他们却发现，这么有趣的问题竟然没有人研究过？！好吧，既然查阅不到相关的研究，他们就自己研究！

他们找来了不同厚度的纸，尝试用各种角度去切手指，想看看怎样才最容易切出伤口。不过鉴于这几位物理学家都不太愿意贡献自己的手指，他们实验中用的“手指”其实是用明胶制作的模型。


被纸划破的真手指（图片来源：ComprehensiveItem - Own work, CC BY-SA 4.0）

他们观察到，在相同的切割角度下，当纸很厚时，切割时只能让明胶凹陷下去，但不能成功切开明胶；


很厚的纸让明胶凹陷（来源：原论文）

而当其它条件保持不变，换用薄一点的纸时，就能够切开明胶了——但纸也不是越薄就越好；


薄一点的纸能切开明胶（来源：原论文）

因为当他们换用更薄的纸时，纸不仅没能切开明胶，还把自己给压弯了。


太薄的纸会压弯自己（来源：原论文）

此外，他们还测试了不同切割角度下，纸切破明胶手指的难易程度。结果发现，切割时纸和明胶表面的夹角越小，越容易切开口子。

总结一下就是，纸的切割角度越小越容易切开明胶；但在给定切割角度下，纸太厚或太薄都切不开明胶。


纸划手的三种结果（图片来源：原论文）

为什么会出现这样的变化趋势呢，最容易切开手指的厚度和角度又是多少呢？

越薄越“锋利”？

首先我们来探究一下，为什么在相同切割角度下，相对薄一点的纸更容易切开皮肤。

便于理解的解释是——纸越薄就越“锋利”。在切割皮肤时，纸施加给皮肤的所有力都集中在纸和皮肤间的接触表面上。而纸越薄，它与皮肤间的接触面积就越小，因此施加相同的力时，皮肤在单位面积上所受的力会更大，即“应力”（stress，σ=F/s）更大。

纸向皮肤施加的应力会有两种作用，一是让皮肤表面向下凹陷形变，二是将接触面两边的皮肤向两侧拉扯。


纸划明胶的物理模型（图片来源：原论文）

当向两侧拉扯皮肤的应力（即“剪切应力” shear stress——应力在与皮肤表面切向的分量）超过皮肤的承受范围时（取决于皮肤的杨氏模量和断裂硬度），皮肤就会被撕裂开（发生塑性形变），即被纸切开了。

而前文说到，纸越薄，应力越大，显然更容易超过皮肤的承受范围，从而切开皮肤。此外，切割角度越小，应力在皮肤表面切向的分量“剪切应力”就越大，也更容易切开皮肤。


切割角度与纸的厚度对纸是否能切开皮肤的影响（图片来源：原论文）

那为什么当纸过薄的时候，又切不开皮肤了呢？

太薄也不行

纸太薄，它就过于柔弱了。

在以上的分析中，我们其实假定纸是不会形变的，但在开头的实验中我们可以看到，过于薄的纸，在切割过程中会发生弯曲——这是因为太薄的纸强度较低，自身承受不了切开皮肤所需的应力。

这在工程力学上叫做“屈曲”或“压曲”（buckling），即柱子或横梁等结构在承受过大的压缩负荷时，突然弯曲或形变的情况。


材料发生屈曲（图片来源：Mircalla22 (talk)- Public Domain）

在实际生活的应用中，工程师在工程设计时必须仔细考虑屈曲问题，以确保结构保持安全和稳定，尤其是在重载情况下。


天太热，铁轨受热膨胀发生屈曲（图片来源：Railpedia.nl - CC BY-SA 3.0）

而对于过薄的纸，它们在达到能切开皮肤所需的应力之前就发生了屈曲，因此不足以切开皮肤。

通俗点说，纸能不能切开皮肤，实际上是看在应力增加的过程中，纸和皮肤谁先达到承受极限——先达到皮肤的极限就可以成功切开皮肤，先达到纸的承受极限就会让纸发生屈曲。

“最危险”的纸

越薄的纸越锋利，但也更容易达到自身发生屈曲的极限。而当一张纸能够给皮肤的最大应力，刚刚能够切开皮肤，又刚刚不至于发生屈曲时，这种厚度的纸就是最容易划伤手指的纸。于是这几位物理学家算了算，厚度 65 微米的纸就刚好满足这个条件。

他们还算出，在真实生活中， 65 微米厚的纸能成功切开手指的可能性为 21%，换句话说，如果你翻阅的纸厚度刚好为 65 微米，那么平均这种纸每划过你的手指五次，就有一次成功划伤手指，好危险！

那么我们生活中什么纸的厚度最接近 65 微米呢？许多点阵打印机（dot matrix printer）用纸的厚度就刚好是 65 微米，此外，很多报纸的厚度也差不多。


一种点阵打印机（图片来源：Nakamura2828 at us.wikipedia - CC BY-SA 3.0）

但作为科研人员，这几位物理学家专门指出：两大学术期刊《科学》（Science，55 微米）和《自然》（Nature，49 微米）厚度很接近 65 微米，也十分危险！


图片来源：论文作者

找到“最危险”的纸之后，这几位科学家还专门通过 3D 打印，制作了一种刀架，可以把 65 微米厚的纸当成刀片使用（3D 打印数据已上传，可自行下载 ），据说切蔬菜鸡肉啥的贼轻松！


纸刀（图片来源：原论文）

他们已经将该研究过程整理成论文，发表在了期刊《物理评论 e》（Physical Review E）上，感兴趣可以去读一读。

参考文献

[1]https://journals.aps.org/pre/accepted/aa072Kc5A071ae0708c39799a466b7d26e3ac2a0e#abstract

[2]https://github.com/Jensen-Lab/PhysicsOfPaperCuts/tree/main