纸看似柔弱,却会在不经意间偷袭你的手指。通常是翻书或整理文件时,你以为手指皮肤和书页纸张只会有蜻蜓点水般的一面之缘,但直至感到指尖隐隐作痛,你才见手指上那道已被血液描红的轮廓——纸方才轻抚你指尖的瞬间,已然在手指上划出了一道伤口。

也不知这算不幸还是幸运,因为纸划破手指算是小概率事件——平常你就算故意用纸去划手,很多时候也划不破。

这引起了丹麦技术大学(Technical University of Denmark)几位物理学家的兴趣,他们开始查阅研究论文,想知道什么样的纸,用什么样的方式,最容易划破手指。


图片来源:原论文

太厚太薄都不行

但他们却发现,这么有趣的问题竟然没有人研究过?!好吧,既然查阅不到相关的研究,他们就自己研究!

他们找来了不同厚度的纸,尝试用各种角度去切手指,想看看怎样才最容易切出伤口。不过鉴于这几位物理学家都不太愿意贡献自己的手指,他们实验中用的“手指”其实是用明胶制作的模型。


被纸划破的真手指(图片来源:ComprehensiveItem - Own work, CC BY-SA 4.0)

他们观察到,在相同的切割角度下,当纸很厚时,切割时只能让明胶凹陷下去,但不能成功切开明胶;


很厚的纸让明胶凹陷(来源:原论文)

而当其它条件保持不变,换用薄一点的纸时,就能够切开明胶了——但纸也不是越薄就越好;


薄一点的纸能切开明胶(来源:原论文)

因为当他们换用更薄的纸时,纸不仅没能切开明胶,还把自己给压弯了。


太薄的纸会压弯自己(来源:原论文)

此外,他们还测试了不同切割角度下,纸切破明胶手指的难易程度。结果发现,切割时纸和明胶表面的夹角越小,越容易切开口子。

总结一下就是,纸的切割角度越小越容易切开明胶;但在给定切割角度下,纸太厚或太薄都切不开明胶。


纸划手的三种结果(图片来源:原论文)

为什么会出现这样的变化趋势呢,最容易切开手指的厚度和角度又是多少呢?

越薄越“锋利”?

首先我们来探究一下,为什么在相同切割角度下,相对薄一点的纸更容易切开皮肤。

便于理解的解释是——纸越薄就越“锋利”。在切割皮肤时,纸施加给皮肤的所有力都集中在纸和皮肤间的接触表面上。而纸越薄,它与皮肤间的接触面积就越小,因此施加相同的力时,皮肤在单位面积上所受的力会更大,即“应力”(stress,σ=F/s)更大。

纸向皮肤施加的应力会有两种作用,一是让皮肤表面向下凹陷形变,二是将接触面两边的皮肤向两侧拉扯。


纸划明胶的物理模型(图片来源:原论文)

当向两侧拉扯皮肤的应力(即“剪切应力” shear stress——应力在与皮肤表面切向的分量)超过皮肤的承受范围时(取决于皮肤的杨氏模量和断裂硬度),皮肤就会被撕裂开(发生塑性形变),即被纸切开了。

而前文说到,纸越薄,应力越大,显然更容易超过皮肤的承受范围,从而切开皮肤。此外,切割角度越小,应力在皮肤表面切向的分量“剪切应力”就越大,也更容易切开皮肤。


切割角度与纸的厚度对纸是否能切开皮肤的影响(图片来源:原论文)

那为什么当纸过薄的时候,又切不开皮肤了呢?

太薄也不行

纸太薄,它就过于柔弱了。

在以上的分析中,我们其实假定纸是不会形变的,但在开头的实验中我们可以看到,过于薄的纸,在切割过程中会发生弯曲——这是因为太薄的纸强度较低,自身承受不了切开皮肤所需的应力。

这在工程力学上叫做“屈曲”或“压曲”(buckling),即柱子或横梁等结构在承受过大的压缩负荷时,突然弯曲或形变的情况。


材料发生屈曲(图片来源:Mircalla22 (talk)- Public Domain)

在实际生活的应用中,工程师在工程设计时必须仔细考虑屈曲问题,以确保结构保持安全和稳定,尤其是在重载情况下。


天太热,铁轨受热膨胀发生屈曲(图片来源:Railpedia.nl - CC BY-SA 3.0)

而对于过薄的纸,它们在达到能切开皮肤所需的应力之前就发生了屈曲,因此不足以切开皮肤。

通俗点说,纸能不能切开皮肤,实际上是看在应力增加的过程中,纸和皮肤谁先达到承受极限——先达到皮肤的极限就可以成功切开皮肤,先达到纸的承受极限就会让纸发生屈曲。

“最危险”的纸

越薄的纸越锋利,但也更容易达到自身发生屈曲的极限。而当一张纸能够给皮肤的最大应力,刚刚能够切开皮肤,又刚刚不至于发生屈曲时,这种厚度的纸就是最容易划伤手指的纸。于是这几位物理学家算了算,厚度 65 微米的纸就刚好满足这个条件。

他们还算出,在真实生活中, 65 微米厚的纸能成功切开手指的可能性为 21%,换句话说,如果你翻阅的纸厚度刚好为 65 微米,那么平均这种纸每划过你的手指五次,就有一次成功划伤手指,好危险!

那么我们生活中什么纸的厚度最接近 65 微米呢?许多点阵打印机(dot matrix printer)用纸的厚度就刚好是 65 微米,此外,很多报纸的厚度也差不多。


一种点阵打印机(图片来源:Nakamura2828 at us.wikipedia - CC BY-SA 3.0)

但作为科研人员,这几位物理学家专门指出:两大学术期刊《科学》(Science,55 微米)和《自然》(Nature,49 微米)厚度很接近 65 微米,也十分危险!


图片来源:论文作者

找到“最危险”的纸之后,这几位科学家还专门通过 3D 打印,制作了一种刀架,可以把 65 微米厚的纸当成刀片使用(3D 打印数据已上传,可自行下载 ),据说切蔬菜鸡肉啥的贼轻松!


纸刀(图片来源:原论文)

他们已经将该研究过程整理成论文,发表在了期刊《物理评论 e》(Physical Review E)上,感兴趣可以去读一读。

参考文献

[1]https://journals.aps.org/pre/accepted/aa072Kc5A071ae0708c39799a466b7d26e3ac2a0e#abstract

[2]https://github.com/Jensen-Lab/PhysicsOfPaperCuts/tree/main